Эмпирические методы управления капиталом

Команда DTI Algorithmic подготовила краткое изложение книги Ральфа Винса «Математика управления капиталом» с нашими комментариями.

Сегодня разбираем первую главу «Эмпирические методы». В ней даются базовые понятия, такие как HPR, TWR, оптимальная доля портфеля, процесс независимых/зависимых испытаний, серийные тесты, доверительная граница/интервал. Подчеркивается важность оптимальной доли счета для торговли = оптимального «f». Сделан акцент на соотношении риска и задействованного в торговле объема капитала.

Читать обзор 2 | 3 главы

Определения

AHPR — средняя арифметическая прибыль без реинвестирования.

GHPR — средняя геометрическая прибыль с учетом реинвестирования.

HPR (holding period returns) — доход за период удержания позиции. Например HPR = 1,10 означает, что сделка за данный период принесла прибыль в 10%.

TWR (technical wealth relative) — относительный конечный капитал. Значение этого показателя отражает во сколько раз был увеличен первоначальный капитал. TWR за ряд периодов или сделок равняется перемножению всех входящих в него HPR.

к оглавлению ↑

Эконометрические показатели

Рассматривается вопрос серийности торговой стратегии. Допустим, мы имеем некоторую историю сделок. Нас интересует, есть ли внутри нее «черные» и «белые» полосы — последовательности положительных и отрицательных сделок. Если они есть, то в торговой системе присутствует некоторая зависимость, которую можно проанализировать и учесть для максимизации прибыли. Другими словами, если внутри торговой системы есть зависимость — она не доработана.

В качестве одного из способов определения «полос» предлагается серийный тест.

Идея серийного теста — определить, насколько больше или меньше у нашей стратегии черных и белых «полос», чем у нормального распределения. Используется показатель «счет Z» — то, на сколько стандартных отклонений наша стратегия по этому показателю отличается от нормального распределения. Счет Z больше 3 говорит о том, что мы нашли какую-то явную зависимость и, потенциально, золотую жилу.

Корреляция — статистическая зависимость между двумя случайными величинами. В качестве меры этой зависимости часто понимается коэффициент корреляции Пирсона, изменяющийся от −1 до +1. Чем ближе коэффициент к +/- 1, тем сильнее зависимость. Положительные значения означает прямую зависимость, отрицательные — обратную.

Пример положительной и отрицательной корреляции цен двух активов:

Положительная и отрицательная корреляция. Источник: «Математика управления капиталом»

В дальнейшем под словом «корреляция» будем понимать коэффициент корреляции Пирсона.

Другой способ — анализ автокорреляции торговой стратегии.

Автокорреляция — корреляция результатов торговой стратегии с ними же, но сдвинутыми на одну сделку. Таким образом мы проверяем, имеет ли наша стратегия внутреннюю зависимость. При близком к +1/-1 коэффициенте корреляции систему еще можно модифицировать для увеличения прибыли.

Вместе с корреляциями рассматривается математическое ожидание (МО). Подчеркивается важность и необходимость выборки систем с максимально положительным МО, так как системы с отрицательным МО заранее проигрышны.

При этом приводится интересный факт, что при наличии двух систем, одна из которых имеет положительное МО, а другая отрицательное, их можно использовать в паре и сделать единую прибыльную систему с положительным МО. Это возможно,если у данных систем отрицательная корреляция (чем более отрицательная, тем лучше).

к оглавлению ↑

Перспективы реинвестирования

Затрагивается вопрос о целесообразности реинвестирования. Его особенность заключаются в том, что реинвестирование улучшает не каждую торговую систему — необходимо проводить дополнительные тесты.

#справка Реинвестирование — инвестирование дохода, полученного от прошлых сделок. Например, у Васи есть вклад на 1000 рублей под 7% годовых. За год Вася получает по этому вкладу 70 руб. Если Вася положит их на тот же вклад, это будет реинвестированием. В таком случае за второй год он заработает 7% не от 1000, а от 1070 рублей, то есть 74,9 руб.

Если прошлые инвестиции оказались убыточными, то при торговле без реинвестирования капитал увеличивают до первоначального уровня. При торговле с реинвестированием торгуют уменьшенным капиталом

Хорошим показателем выбора торговой системы для реинвестирования является показатель среднего геометрического (G):

Формула среднего геометрического. Источник: «Математика управления капиталом»

Среднее геометрическое меньше 1 означает, что система в среднем убыточна, поэтому в нее не стоит реинвестировать. G больше 1 показывает, что торговая система в среднем приносит прибыль, и в нее можно реинвестировать. При выборе из нескольких торговых систем лучше реинвестировать в ту, у который среднее геометрическое выше.

к оглавлению ↑

Оптимальная доля для торговли

При торговле необходимо выбрать количество контрактов для покупки. Это зависит в том числе от общего количества вкладываемых денег и от возможных потерь. Для определения количества контрактов используется делитель максимально возможных потерь — f. Он может принимать значения от 0 до 1.

Пример определения количества контрактов:

Определение количества контрактов. Источник: «Математика управления капиталом»

Далее обсуждается тема торговли оптимальной долей портфеля — оптимальное f.

Сначала рассматривается система торговли фиксированной долей портфеля. Первый вариант расчета оптимального f — формулы Келли. Однако они дают достоверные результаты только в случае, когда результаты имеют распределение Бернулли (бинарное распределение). Это несвойственно для торгового процесса, поэтому не может использоваться в торговле.

Второй вариант поиска — перебор значений f от 0,01 до 1 и выявление наибольшего TWR или среднего геометрического (не имеет значения, так как пики будут совпадать).

Пример зависимости TWR от f для 20 игр, в которых можно выиграть $2 или проиграть $1:

Зависимость TWR от f. Источник: «Математика управления капиталом»

Получив значение оптимального f, необходимо разделить максимальный проигрыш на отрицательное значение оптимального f. Полученное значение будет показывать, какой капитал стоит задействовать на один контракт. Соответственно, чтобы получить оптимальное количество контрактов для торговли по счету, необходимо размер счета разделить на полученное значение капитала на один контракт.

Важно, что разница в торговле с использованием оптимального f и без него заметна только на дистанции. Чем больше количество сделок, тем сильнее эффект оптимального f.

Значимый показатель прибыльности торговой системы — средняя геометрическая сделка (то есть средняя прибыль на сделку). При условии, что торговля ведется фиксированной долей счета, этот показатель становится равен МО на сделку. МО = G — 1.

Особенностью оптимального f, является то, что чем больше значение оптимального f, тем больше потенциальный максимальный проигрыш торговой системы (в % от счета). Более того, максимальный проигрыш не может быть меньше оптимального f (в % от счета).

к оглавлению ↑

Модель Марковица

Чтобы минимизировать возможные проигрыши, необходимо диверсифицировать портфель с учетом корреляций между активами/стратегиями, а также оптимального f. При этом для создания максимально эффективного портфеля в него необходимо включать стратегии/активы с максимально отрицательной корреляцией. Что чем выше корреляция, тем меньше дисперсия результатов, а, следовательно, и потенциальный риск.

За основную концепцию формирования портфеля принимается модель Гарри Марковица. Марковиц предположил, что инвесторы действуют рационально и при наличии выбора предпочитают портфель с меньшим риском при равном уровне прибыльности или выбирают портфель с большей прибылью при одинаковом риске. Марковиц утверждает, что для данного уровня риска есть оптимальный портфель с наивысшей доходностью — и таким же образом для данного уровня доходности есть оптимальный портфель с наименьшим риском.

Портфель, доходность которого может быть увеличена без сопутствующего увеличения риска, или портфель, риск которого можно уменьшить без сопутствующего уменьшения доходности, согласно Марковицу, неэффективны.

Эффективные (например, A и B) и неэффективные (например, C) портфели:

Эффективные и неэффективные портфели. Источник: «Математика управления капиталом»

Марковиц ввел понятие «эффективная граница». Это набор портфелей, которые находятся в верхней левой части графика. То есть такие портфели, прибыль которых больше не может быть увеличена без увеличения риска, и риск которых не может быть уменьшен без уменьшения прибыли. Портфели, находящиеся на эффективной границе, называются эффективными портфелями.

Граница эффективных портфелей:

Граница эффективных портфелей. Источник: «Математика управления капиталом»

Портфели, которые находятся вверху справа и внизу слева, в целом недостаточно диверсифицированы по сравнению с другими портфелями. Те же портфели, которые находятся в середине эффективной границы, обычно очень хорошо диверсифицированы.

Выбор портфеля инвестором зависит от степени неприятия риска инвестором — иначе говоря, от желания взять на себя риск. В модели Марковица любой портфель, который находится на эффективной границе, является хорошим выбором.

к оглавлению ↑

Комбинации систем в портфеле

Существует множество комбинаций систем в портфеле (КСП) в зависимости от весов торговых систем, включенных в состав портфелей. Для сравнения портфелей между собой необходимо считать HPR портфелей. HPR портфеля = сумма HPR входящих в него торговых систем.

Необходимо также учитывать оптимальное f. При этом оно может рассчитываться на портфель целиком или исходя из оптимального f для каждой торговой системы (тогда объем портфеля будет равен сумме оптимальных f торговых систем, умноженных на их веса в портфеле).

Значимым показателем оптимальности КСП является оценочное среднее геометрическое EGM (estimated geometric mean). Это среднее геометрическое из среднего арифметического HPR и STD HPR. Чем выше показатель EGM, тем выше скорость прироста портфеля.

Переоценивать/перевзвешивать портфели и КСП необходимо, исходя из специфики торговых стратегий и частотности принятия решений. Чем выше частотность, тем чаще переоценка, и наоборот. Второй вариант переоценки — переоценка от сделки к сделке, перед входом в позицию.

Важно, что диверсификация портфеля при правильной подборке систем увеличивает прибыльность портфеля, сглаживает небольшие убытки, но необязательно уменьшает потенциальный максимальный проигрыш. Главная цель диверсификации — получение наивысшего среднего геометрического (то есть максимального коэффициента роста портфеля).

На прибыльность портфеля значимо влияет дисперсия результатов. Уменьшение дисперсии увеличивает прибыльность системы даже с низким МО. Значительно улучшить торговую систему может также уменьшение STD, если AHPR (арифметическое среднее значение прибыли) уменьшится на меньшую величину. То есть уменьшение больших выигрышных сделок и проигрышей (короткие стопы) может улучшить систему, если STD уменьшается больше, чем AHPR. Часто подобного эффекта можно добиться, включая в стратегии опционы.